Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares possuem matrizes. Também possuem matrizes as formas bilineares e, mais particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transformações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. São numerosas e bastante variadas as situações, em Matemática e em suas aplicações, onde esses objetos ocorrem. Daí a importância central da Álgebra Linear no ensino da Matemática.
O presente livro apresenta uma exposição introdutória de Álgebra Linear. Ele não pressupõe conhecimentos anteriores sobre o assunto.
Entretanto convém lembrar que a posição natural de um tal curso no currículo universitário vem após um semestre (pelo menos) de Geometria Analítica a duas e três dimensões, durante o qual o estudante deve adquirir alguma familiaridade, em nível elementar, com a representação algébrica de ideias geométricas e vice-versa.
Tornou-se quase obrigatório, já faz alguns anos, dedicar as primeiras sessenta ou mais páginas de todo livro de Álgebra Linear ao estudo dos sistemas de equações lineares pelo método da eliminação gaussiana, motivando assim a introdução das matrizes e dos determinantes.
Somente depois disso são definidos os espaços vetoriais. Esse costume não é seguido neste livro, cuja primeira sentença é a definição de espaço vetorial. Mencionarei três razões para isso: (a) A definição de Álgebra Linear dada acima; (b) Não vejo vantagem em longas motivações; (c) Sistemas lineares são entendidos mais inteligentemente depois que já se conhecem os conceitos básicos de Álgebra Linear. De resto, esses conceitos (núcleo, imagem, base, posto, subespaço, etc), quando estudados independentemente, têm muitas outras aplicações.
O método da eliminação gaussiana é apresentado na Seção 9 e retomado na Seção 17. Ele é aplicado para obter respostas a vários outros problemas além da resolução de sistemas lineares.
O livro é dividido em vinte e duas seções. As oito primeiras desenvolvem os conceitos fundamentais e as proposições básicas, que formam a linguagem mínima necessária para falar inteligentemente sobre Álgebra Linear. A nona seção faz a primeira aplicação dessas ideias, tratando da eliminação gaussiana.