Apontamentos De Geometria Diferencial – Em geometria diferencial estudam-se objetos de natureza geométrica – curvas e superfícies – usando as técnicas do cálculo diferencial e integral. A geometria diferencial clássica que aqui estudaremos engloba o estudo das propriedades das curvas e superfícies no espaço euclidiano. Teve as suas origens no século XVII, com a introdução dos métodos do cálculo infinitesimal na geometria euclidiana. Nela se estudam as propriedades locais, isto é, aquelas que dependem somente do comportamento da curva ou superfície na vizinhança de um ponto. Por isso é usual chamar-lhe teoria local de curvas e superfícies.
A geometria diferencial moderna estuda a influência das propriedades locais no comportamento de toda a curva ou superfície (teoria global de curvas e superfícies) e estende o estudo aos espaços não euclidianos e variedades de qualquer dimensão, baseando-se ainda, no entanto, nos métodos do cálculo diferencial e integral.
Neste curso abordamos os temas clássicos da geometria diferencial: curvas e superfícies no plano e no espaço. Estudaremos resultados obtidos na sua quase totalidade no século XIX. Curvas e superfícies são objetos que qualquer pessoa pode ver, e muitas das questões que podem ser levantadas sobre estes objetos são óbvias e naturais. A geometria diferencial preocupa-se com a formulação matemática de algumas dessas questões e em tentar encontrar respostas para elas, usando as técnicas do cáalculo diferencial.
Num primeiro capítulo dedicamo-nos ao estudo das curvas. Num segundo (e último) capítulo estudamos a teoria local das superfícies.
Muitos dos conceitos básicos das curvas planas foram introduzidos por C. Huygens (1629-1675) na obra Horologium Oscillatorium de 1667, um trabalho devotado
`a concepção teórica de relógios de pêndulo. Huygens obteve os seus resultados por métodos puramente geométricos e foi mais tarde Newton quem, em 1736, na obra Geometria Analytica, primeiro empregou os métodos do cálculo infinitesimal nesta área.
Os primeiros passos na geometria diferencial no espaço foram dados por Clairaut no trabalho Recherche sur les Courbes à Double Curvature (1731), um trabalho que trata simultaneamente de curvas e superfícies. O instrumento decisivo para o estudo das curvas, o chamado triedro móvel de Frenet-Serret, foi introduzido por Michel-Anye Lancret (1774-1807), um estudante de Monge, em 1806.
