Francisco César Polcino – Anéis E Módulos

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O objetivo destas notas é oferecer uma introdução à teoria de anéis e módulos para alunos com uma certa experiência anterior em Álgebra.
Tentamos minimizar o número de pré-requisitos.
Por causa disso, no Capítulo I incluímos uma revisão de fatos básicos sobre anéis e ideais que são de uso frequente no que segue. Esta revisão não pretende ser completa nem auto-suficiente; por exemplo, fala-se dos inteiros módulo m sem uma definição explícita e se cometem certos abusos de linguagem, aqui e ali, para fazer mais ágil a leitura.
Também se pressupõe uma razoável familiaridade com as noções básicas da Álgebra Linear. Isto ajudará a uma melhor compreensão da matéria, mas é essencial unicamente em alguns exemplos isolados e na maior parte do capítulo IV.
Fizemos esforço para indicar ao leitor, a cada passo, a direção em que nos dirigimos e os resultados que pretendemos obter. Esperamos assim favorecer a “intuição” das coisas. Também tentamos ilustrar as diversas situações com exemplos e contraexemplos, que se suplementam com as listas de exercícios no fim de cada seção.
O capítulo I trata, como já dissemos, de noções básicas sobre anéis e ideais; no capítulo II se tratam as generalidades sobre módulos; no capítulo III se obtém os clássicos teoremas de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio principal e o capítulo IV
trata das aplicações à teoria de grupos abelianos finitamente gerados e as formas canônicas de um endomorfismo de um espaço vetorial de dimensão finita.
Estes quatro capítulos constituem a parte básica do curso e cobrem os tópicos sobre anéis e módulos do programa do exame de qualificação para mestrado do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
No capítulo V tratamos rapidamente algumas noções introdutórias à Álgebra Homológica que são de uso frequente em várias outras direções. Finalmente, a capítulo VI foi incluído para dar uma primeira visão das ideias mais profundas no estudo da estrutura de anéis.

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